Công thức giải nhanh lượng giác

Các công thức giải nhanh toán lượng giác, giúp học cải thiện được thời gian làm trắc nghiệm giúp cho điểm số được cải thiện hơn

1. Hệ thức cơ bản








→sin2x+cos2x=1→tgx=sinxcosx→cotgx=cosxsinx

→tgx.cotgx=1→1+tg2x=1cos2x→1+cotg2x=1sin2x
2. Cung liên kết:
Cung đối:
cos(- x) = cos(x)
sin(- x) = - sin(x)
tan(- x) = - tan(x)
cot(- x) = - cot(x)

Cung bù:
sin(π – x) = sin(x)
cos(π – x) = - cos(x)
tan(π – x) = - tan(x)
cot(π – x) = - tan(x)

Cung phụ:
sin(π/2 – x) = cos(x)
cos(π/2 – x) = sin(x)
tan(π/2 – x) = cot(x)
cot(π/2 – x) = tan(x)

Cung hơn kém π:
sin(π + x) = - sin(x)
cos(π + x) = - cos(x)
tan(π + x) = tan(x)
cot(π + x) = cot(x)

Cung hơn kém π/2
sin(π/2 + x) = cos(x)
cos(π/2 + x) = - sin(x)
tan(π/2 + x) = - cot(x)
cot(π/2 + x) = - tan(x)

3. Công thức cộng:
sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± sin(y)cos(x)
sin(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(y)sin(x)
tg(x±y)=tgx±tgy1∓tgxtgy

4. Công thức nhân đôi
sin2x=2sinxcosxcos2x=2cos2x−1=1−2sin2x=cos2x−sin2xtg2x=2tgx1−tg2xcos2x=1+cos2x2sin2x=1−cos2x2
 5. Công thức nhân ba
sin3x=3sinx−4sin3xcos3x=4cos3x−3cosxtg3x=3tgx−tg3x1−3tg2xcos3x=3cosx+cos3x4sin3x=3sinx−sin3x4

6. Công thức biểu diễn theo sinx, cosx theo t=tgx2

sinx=2t1+t2cosx=1−t21+t2tgx=2t1−t2

7. Công thức biến đổi:
a/Tích thành tổng:
cosx.cosy=12[cos(x−y)+cos(x+y)]sinxsiny=12[cos(x−y)−cos(x+y)]sinxcosy=12[sin(x−y)+sin(x+y)]
b/Tổng thành tích
cosx+cosy=2cosx+y2cosx−y2cosx−cosy=−2sinx+y2sinx−y2sinx+siny=2sinx+y2cosx−y2sinx−siny=2cosx+y2sinx−y2tgx+tgy=sin(x+y)cosxcosytgx−tgy=sin(x−y)cosxcosycotgx+cotgy=sin(x+y)sinxsinycotgx−cotgy=sin(x−y)sinxsiny
Đặc biệt
sinx+cosx=2–√sin(x+π4)=2–√cos(x−π4)sinx−cosx=2–√sin(x−π4)=−2–√cos(x+π4)1±sin2x=(sinx±cosx)2

8. Phương trình cơ bản

a/sinx=sinu⇔[x=u+k2πx=π−x+k2π(k∈Z)sinx=1⇔x=π2+k2πsinx=−1⇔x=−π2+k2πsinx=0⇔x=kπb/cosx=cosu⇔[x=u+k2πx=−u+k2π(k∈Z)cosx=1⇔x=+k2πcosx=−1⇔x=π+k2πcosx=0⇔x=π2kπc/tgx=tgu⇔x=u+kπ(k∈Z)d/cotgx=cotgu⇔x=u+kπ(k∈Z)

9. Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác:
Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx, cotgx) ta chuyển về phương trình:
antn+an−1tn−1+......+a0=0
Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí chú ý điều kiện – 1 ≤ t ≤ 1

10. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx:asin(x) + bcos(x) = c
Điều kiện để có nghiệm: a2+b2≥c2
Cách giải: Chia hai vế cho a2+b2−−−−−−√ và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản
11. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:



 

asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d=0
Cách giải:
*Xét cosx=0⇔x=π2+kπcó là nghiệmkhông?
*Xét cos(x) ≠ 0 chia 2 vế chia cho cos2x và đặt t= tgx 
Chú ý: d1cos2x=d(1+tg2x)
12. Phương trình dạng: a.(sinx±cosx)+bsinx.cosx+c=0
Cách giải: Đặt
t=sinx±cosx=2–√sin(x±π4)⇒−2–√≤t≤2–√⇒sinx.cosx=t2−12(sinx.cosx=1−t22)
và giải phương trình bậc hai theo t

13. Định lý cosin

a2=b2+c2−2bccosAb2=a2+c2−2accosBc2=a2+b2−2abcosCcosA=b2+c2−a22bccosB=a2+c2−b22accosC=a2+b2−c22ab

14. Định lý hàm số sin:asinA=bsinB=csinC=2R

15. Công thức tính độ dài đường trung tuyến

m2a=b2+c22−a24m2b=a2+c22−b24m2c=a2+b22−c24

16. Công thức độ dài đường phân giác trong
la=2bccosA2b+clb=2accosB2a+clc=2abcosC2a+b
Công thức tính diện tích tam giác:
S=12a.ha=12b.hb=12c.hcS=12bc.sinA=12ab.sinC=12ac.sinBS=p.r=abc4RS=p(p−a)(p−b)(p−c)