Bài khai triển đẳng thức tổng quát hay

Xin chào các em, hôm nay mình sẽ giới thiệu đến các em một bài khai triển đẳng thức khá hay và thường xuất hiện trong các đề thi đại học gần đây:

Đề bài : Cho khai triển đẳng thức như sau :
\[(1 + x)(1 + 2x)...(1 + nx) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{2017}}{x^{2017}}\]
Tìm \({a_2}\)

Hướng dẫn : 
Đầu tiên nếu các em muốn làm được bài này thì phải nhớ đến các khai triển cơ bản sau :
\[1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\]
\[{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\]
\[{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{{[n(n + 1)]}^2}}}{4}\]

Ta khai triển đăng thức vế trái cho phần thử  \({a_2}\) như sau :
\[\begin{array}{l}
{a_2} = 1(2 + 3 + ... + n) + 2(3 + 4 + ... + n) + ... + (n - 1)n\\
 = 1[1 + 2 + 3 + ... + n - (1)] + 2(1 + 2 + 3 + ... + n - (1 + 2)]\\
 + (n - 1)[1 + 2 + 3 + ... + n - (1 + 2 + ... + (n - 1))]\\
 = \sum\limits_1^n {k[\frac{{n(n + 1)}}{2} - \frac{{k(k + 1)}}{2}]}  = \frac{1}{2}\sum\limits_1^n {k[{n^2} + n - ({k^2} + k)]} \\
 = \frac{1}{2}\sum\limits_1^n {[k({n^2} + n) - ({k^3} + {k^2})]}
\end{array}\]

Tiếp tục áp dụng 3 công thức cơ bản phía trên ta được :
\[\begin{array}{l}
{a_2} = \frac{1}{2}[\frac{{({n^2} + n)n(n + 1)}}{2} - \frac{1}{4}{(n(n + 1))^2} - \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}]\\
 = \frac{{{{({n^2} + n)}^2}}}{8} - \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{{12}}
\end{array}\]

Lưu ý : các công thức nên nhớ
\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}}  = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\\
\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^3} = \frac{1}{4}{\mkern 1mu} {n^2}{\left( {n + 1} \right)^2}\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{i^4}}  = \frac{1}{{30}}{\mkern 1mu} n\left( {n + 1} \right)\left( {2{\mkern 1mu} n + 1} \right)\left( {3{\mkern 1mu} {n^2} + 3{\mkern 1mu} n - 1} \right)\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{i^5}}  = \frac{1}{{12}}{\mkern 1mu} {n^2}\left( {2{\mkern 1mu} {n^2} + 2{\mkern 1mu} n - 1} \right){\left( {n + 1} \right)^2}\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{i^6}}  = \frac{1}{{42}}{\mkern 1mu} n\left( {n + 1} \right)\left( {2{\mkern 1mu} n + 1} \right)\left( {3{\mkern 1mu} {n^4} + 6{\mkern 1mu} {n^3} - 3{\mkern 1mu} n + 1} \right)\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{i^7}}  = \frac{1}{{24}}{\mkern 1mu} {n^2}\left( {3{\mkern 1mu} {n^4} + 6{\mkern 1mu} {n^3} - {n^2} - 4{\mkern 1mu} n + 2} \right){\left( {n + 1} \right)^2}\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{i^8}}  = \frac{1}{{90}}{\mkern 1mu} n\left( {n + 1} \right)\left( {2{\mkern 1mu} n + 1} \right)\left( {5{\mkern 1mu} {n^6} + 15{\mkern 1mu} {n^5} + 5{\mkern 1mu} {n^4} - 15{\mkern 1mu} {n^3} - {n^2} + 9{\mkern 1mu} n - 3} \right)\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{i^9}}  = \frac{1}{{20}}{n^2}\left( {{n^2} + n - 1} \right)\left( {2{\mkern 1mu} {n^4} + 4{\mkern 1mu} {n^3} - {n^2} - 3{\mkern 1mu} n + 3} \right){\left( {n + 1} \right)^2}\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{i^{10}}}  = \frac{1}{{66}}{\mkern 1mu} n\left( {n + 1} \right)\left( {2{\mkern 1mu} n + 1} \right)\left( {{n^2} + n - 1} \right)\left( {3{\mkern 1mu} {n^6} + 9{\mkern 1mu} {n^5} + 2{\mkern 1mu} {n^4} - 11{\mkern 1mu} {n^3} + 3{\mkern 1mu} {n^2} + 10{\mkern 1mu} n - 5} \right)
\end{array}\]